1.8. Unutrašnji prinos obveznice.

Ročna struktura kamatnih stopa.

Analizu finansijskih ulaganja u uslovima izvesnosti proučavaćemo na primeru hartija od vrednosti sa fiksnim prihodom. Najčešća vrsta takvih hartija od vrijednosti su obveznice.

Bond je obaveza plaćanja, u određenim momentima u budućnosti, unaprijed određenih suma novca. Glavni parametri obveznice su nominalna cijena (nominalna vrijednost), datum dospijeća, veličina i rokovi plaćanja po obveznici. Od trenutka izdavanja do dospijeća, obveznice se kupuju i prodaju na berzi. Tržišna cijena obveznice utvrđuje se na osnovu ponude i potražnje i može biti jednaka njenoj nominalnoj vrijednosti, iznad ili ispod nominalne vrijednosti.

Obveznice ćemo razmatrati pod uslovima izvjesnosti: emitent ne može pozvati obveznicu prije određenog datuma dospijeća, plaćanja po obveznici su određena po fiksnim vrijednostima u određenim vremenskim trenucima. Istovremeno, primanje budućih prihoda tačno u navedene datume i ima punu garanciju. Za takve obveznice se kaže da nemaju kreditni rizik. Glavni faktor rizika ostaje rizik kamatne stope– rizik promjene tržišnih kamatnih stopa.

Razmislite o obveznici za koju t 1 , t 2 ,…, t n godine od sadašnjeg vremena t= 0, gdje je 0< t 1 < t 2 <…< t n , obećanje da će platiti sume novca OD 1 , OD 2 ,…, OD n respektivno. Očigledno je da C i > 0, i = 1, 2,…, n. Neka P – tržišnu cijenu obveznice u ovom trenutku t= 0. Tada je prirodno pretpostaviti da je P < OD 1 + OD 2 +…+ OD n. Trenutak vremena t= 0 - ovo je trenutak u kojem se treba uložiti u obveznicu ili trenutak kupovine obveznice. Trenutak vremena t= t n, kada se izvrši posljednja uplata na obveznicu, naziva se trenutak otkupa obveznice, a period T = t n(u godinama) – rok dospijeća. Investitora najviše zanimaju dva indikatora - prinos i cijena obveznice. Interni povratak je najvažnija i najrasprostranjenija mjera vrednovanja obveznica. Također poznat kao prinos do dospijeća.

Definicija. Godišnji interni prinos obveznica r- ovo je godišnja stopa složena kamata, po kojoj je sadašnja vrijednost toka plaćanja obveznice jednaka tržišnoj vrijednosti obveznice u to vrijeme t= 0:

Ovde se interni prinos obveznice definiše kao godišnji prinos na novčani tok OD 1 , OD 2 ,…,OD n, čija je cijena P(vidi paragraf 1.4).

U stranoj praksi postoji tržišni sporazum prema kojem se plaćanja po obveznici isplaćuju u redovnim intervalima m jednom godišnje, godišnja nominalna stopa internog prinosa se primenjuje za diskontovanje članova gotovinskog toka j :

.

Osobine unutrašnjeg prinosa obveznice.

1. Interna stopa prinosa obveznice jednaka je preovlađujućoj tržišnoj kamatnoj stopi za ulaganja u alternativne finansijske instrumente sa istim stepenom rizika. Drugim riječima, stopa internog povrata obveznice jednaka je prinosu uporedivih instrumenata.

2. Godišnji interni prinos obveznice je stopa povrata koju investitor dobije ako su ispunjena dva uslova:

1) investitor je vlasnik obveznice do njenog otkupa t= t n ;

2) sva plaćanja na obveznicu se reinvestiraju po stopi koja je jednaka internom prinosu obveznice r u trenutku njegove kupovine.

Pokažimo da je pod ovim uslovima prosečan godišnji prinos na ulaganje u obveznicu jednak njenom internom prinosu. Kupovina obveznice, a zatim je držanje do dospijeća uz reinvestiranje pristiglog prihoda smatrat će se finansijskom transakcijom (vidi paragraf 1.2). Operativni rok T = t n godine. Novčana vrijednost početka operacije P(0) je tržišnu cijenu kupovine obveznica P u momentu t= 0. Prema (8.1), P =
. Monetarna vrijednost datuma dospijeća obveznice t= t n za investitora pod uslovima 1), 2) je iznos P(t n) =
. Prema definiciji profitabilnosti finansijske transakcije (2.2):

P(t n) = P
,

gdje - prosječni godišnji povrat ulaganja u obveznicu za određeni period T = t n godine. Zamijenimo u ovu jednakost izraze za P i P(t n):

=

.

Gde da stignemo r = .

Dakle, prosječni godišnji prinos na ulaganje u obveznicu, jednak r, ostvaruje se na dan otkupa obveznice ako su ispunjeni uslovi 1), 2). Dakle, drugi naziv za interni prinos je prinos do dospijeća. Ako stavke 1) ili 2) nisu ispunjene, onda stvarni prinos koji investitor dobije može biti veći ili manji od internog prinosa obveznice. Rizik sa kojim se investitor suočava prilikom kupovine obveznice je rizik da će buduće stope reinvestiranja biti ispod interne stope prinosa. Ovaj rizik se naziva rizik reinvestiranja ili rizik stope reinvestiranja.

Interni prinos obveznice koristi se za procjenu atraktivnosti alternativnih sredstava ulaganja. Ceteris paribus, što je veći prinos do dospijeća obveznica date emisije, to je ona privlačnija.

Razmotrimo problem određivanja internog prinosa obveznice. Unutrašnji prinos veze je rješenje jednačine (8.1). Prema teoremi 4.1, ova jednačina pod uslovom P < OD 1 + OD 2 +…+ OD n ima jedinstveno pozitivno rješenje. Ovo rješenje se pronalazi aproksimativnim metodama. Jedna od njih je metoda linearne interpolacije (opisana u paragrafu 1.4, primjerima 4.2, 4.4).

Primjer 8.1. Odredite godišnji interni prinos r obveznice čiji je tok plaćanja naveden u tabeli:

Metodom linearne interpolacije naći će se približna vrijednost unutrašnjeg prinosa obveznice. Prema definiciji godišnjeg internog prinosa obveznice

.

Potrebno je pronaći rješenje jednačine F(r) = 0, gdje

F(r) =
.

Od 948< 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F(0,07) = – 15,8396, F(0,08) = 1,4979, zatim željeni interni prinos r (0,07; 0,08). Formulom (4.8) nalazimo prvu aproksimaciju

r l1 = 0,07 + .

U ovom slučaju, vrijednost funkcije F(r k1) = 0,02567 > 0. Dakle, rješenje r (0,07; 0,07914). Sljedeći korak metode daje

r l2 = 0,07 + .

Stoga se može smatrati da r 0,07913 ili 7,913% na tri decimale.

Definicija. Obveznica se zove čista diskontna obveznica ako se na tu obveznicu izvrši samo jedno plaćanje.

Definicija. Intrinzični prinos čisto diskontne obveznice bez kreditnog rizika koji ima rok dospijeća t godine naziva se godišnjim bez rizika kamatna stopa za ulaganje u t godine. Drugi naziv je godišnji spot stopa.

Neka ALI je iznos otkupa čiste diskontne obveznice, t godine - rok dospijeća, R je tržišna cijena obveznice u ovom trenutku t = 0, r(t) je interni prinos obveznice. Zatim, prema definiciji unutrašnjeg prinosa obveznice,

.

(8.2)

je godišnja nerizična kamatna stopa za ulaganja u t godine.

Primjer čisto diskontne obveznice bez kreditnog rizika su obveznice američkog trezora bez kupona. Prinosi trezora služe kao mjerilo za sve vrste obveznica.

Razmislite kako se bilo koja obveznica može vrednovati ako na tržištu postoje čiste diskontne obveznice. Pretpostavimo da postoji obveznica na tržištu AT bez kreditnog rizika, za koji preko t 1 , t 2 ,…, t n godine obećavaju da će platiti sume novca OD 1 , OD 2 ,…, OD n respektivno. obveznica AT može se procijeniti ako ga posmatramo kao portfelj čisto diskontnih obveznica AT 1 , AT 2 ,…, AT n sa dospijećem u t 1 , t 2 ,…, t n godine. Pretpostavimo da su ispunjeni sljedeći uslovi:

1) poznate su godišnje nerizične kamatne stope r(t 1), r(t 2), …, r(t n) za investicije na t 1 , t 2 ,…, t n godine računaju se od trenutka t = 0;

2) čiste diskontne obveznice AT 1 , AT 2 ,…, AT n može se kupiti na tržištu u bilo kojoj količini bez transakcionih troškova. Onda za ove obveznice imamo

,

i = 1, 2, …, n, gdje P i– trenutna tržišna cijena jedne obveznice i- prve vrste, A i- iznos koji treba otkupiti po ovoj obveznici, r(t i) je njegov interni povratak. Plaćanje OD 1 portfelja otkupljuje se u obveznicama AT 1 , plaćanje OD 2 - obveznice AT 2, itd., plaćanje OD n- obveznice AT n. Zatim u portfoliju , i = 1, 2, …, n, obveznice svake vrste. Dakle, vrijednost portfelja u ovom trenutku t= 0 je

.

Zatim tržišna vrijednost obveznice AT u momentu t= 0 je

. (8.3)

Svaka isplata obveznica AT diskontovano pojedinačno uz odgovarajuću nerizičnu kamatnu stopu.

Definicija. Skup godišnjih bezrizičnih kamatnih stopa r(t 1), r(t 2), …, r(t n) za investicije na t 1 , t 2 ,…, t n godine računaju se od trenutka t= 0, gdje
, naziva se terminska struktura kamatnih stopa.

Dakle, ako je poznata ročna struktura kamatnih stopa, onda se trošak obveznice koja nema kreditni rizik može izračunati pomoću formule (8.3).

Definicija. Funkcijski grafikon r = r(t), gdje r(t) je godišnja nerizična kamatna stopa za ulaganja u t godine naziva se kriva prinosa (ili kriva spot stope).

U stvarnim tržišnim uslovima, uvek postoji samo konačan skup čisto diskontnih obveznica (na primer, ne postoje obveznice američkog trezora sa nultim kuponom koje dospevaju duže od jedne godine). Stoga se kriva prinosa ne može izgraditi samo iz posmatranja na tržištu. U tom smislu, konstruisana je teorijska kriva prinosa. Da biste to učinili, koristeći prinos stvarnih čisto diskontnih obveznica, izračunajte teorijske vrijednosti prinosa za različite periode ulaganja. Postoji nekoliko metoda za dobijanje teoretskih prinosa. Jedan od njih se zove bootstrap proceduru. Pogledajmo ovu metodu na primjeru.

Primjer 8.2. Na tržištu postoje državne obveznice A, B, C, D, E čiji tokovi plaćanja i cijene u ovom trenutku t= 0 navedeni su u tabeli:

	Mandat u godinama

A i B su čisto diskontne obveznice. Njihovi unutrašnji prinosi r(0,5) = 5,25% i r(1) = 6,3%, određene formulom (8.2), su nerizične kamatne stope za ulaganja na 0,5 godina i 1 godinu. Poznavajući ove dvije stope, možemo izračunati teorijsku bezrizičnu kamatnu stopu za ulaganja na 1,5 godinu, koristeći obveznicu C. Cijena obveznice C prema formuli (8.3) je jednaka

118,71 =
,

gdje r(0,5) = 0,0525, r(1) = 0,063. Onda

118,71 =
.

Odakle dobijamo teoretsku godišnju nerizičnu kamatnu stopu za ulaganja na 1,5 godine: r(1,5) = 6,9%. Ova stopa je stopa koju bi tržište ponudilo na 1,5-godišnje neto diskontne obveznice ako postoje vrijednosne papire stvarno postojao.

Poznavajući teorijsku 1,5-godišnju bezrizičnu kamatnu stopu, možete izračunati teorijsku dvogodišnju bezrizičnu kamatnu stopu koristeći obveznicu D:

Gdje r(2) = 7,1% je teoretska dvogodišnja nerizična kamatna stopa. Primjenjujući još jednom opisanu proceduru za obveznicu E, određujemo teorijsku 2,5-godišnju nerizičnu kamatnu stopu: r(2,5) = 7,9 %.

Kamatne stope bez rizika r(0,5), r(1), r(1,5), r(2), r(2.5), izgrađen korišćenjem takvog procesa, postavlja vremensku strukturu kamatnih stopa za raspon od 2,5 godine u odnosu na vremensku tačku na koju se odnose cijene obveznica.

Poznavanje ročne strukture kamatnih stopa r(t 1), r(t 2), …, r(t n), moguće je konstruisati krivu prinosa. Jedna od metoda za konstruisanje krive je linearna interpolacija. Vjeruj

,
, i = 1, 2, …, n – 1. (8.4)

To
Kriva prinosa za terminsku strukturu dobijena u primjeru 8.2, korištenjem linearne interpolacije, je:

Koristeći krivu prinosa, možete odrediti približnu vrijednost bezrizične kamatne stope za ulaganja za bilo koji period od t 1 to t n godine. Na primjer, od 1.25
, onda

r(1,25) r(1)
= 0,066.

Drugi način za crtanje krivulje prinosa je interpolacija ( n- 1) - ti red:

r(t)

+
(8.5)

…………………..

+
,

gdje t [t 1 , t n]. Onda r(t) je polinom stepena ( n- 1) u odnosu na varijablu t. At t = t 1 , t 2 , …, t n vrijednosti polinoma su iste kao r(t 1), r(t 2), …, r(t n) respektivno. Jednadžba krivulje prinosa za terminsku strukturu dobijena u primjeru 8.2 je:

r(t) 0,00633 t 4 - 0,031 t 3 + 0,04442 t 2 - 0,00325 t+ 0,0465, gdje t .

Koristeći dobijenu krivu, izračunavamo trošak obveznice bez kreditnog rizika, plaćanja po kojoj u odnosu na trenutak t= 0 navedeni su u tabeli:

Tržišna vrijednost ove obveznice u to vrijeme t= 0 je, prema (8.3):

P =
.

Približne vrijednosti godišnjih bezrizičnih kamatnih stopa za ulaganja za 0,7 godina i 1,7 godina su, respektivno:

r(0,7) 0,00633(0,7) 4 - 0,031(0,7) 3 + 0,04442(0,7) 2 - 0,003250,7 + 0,0465 = 0,0569,

r(1,7) 0,00633(1,7) 4 - 0,031(1,7) 3 + 0,04442(1,7) 2 - 0,003251,7 + 0,0465 = 0,0699.

Zatim tržišna vrijednost ove obveznice

P =
= 112,14.

Razmatrana “bootstrapping procedura” za dobijanje teoretskih vrijednosti bezrizičnih kamatnih stopa može se koristiti ako na tržištu postoje obveznice koje su pogodne za ovaj postupak. Razmotrimo još jednu metodu za dobijanje teoretskih vrijednosti kamatnih stopa.

Pretpostavimo da znamo terminsku strukturu kamatnih stopa r(t 1), r(t 2), …, r(t k) za investicije na t 1 , t 2 ,…, t k godine, a na tržištu postoji obveznica bez vrijednosti kreditnog rizika P, kroz koje t 1 , t 2 ,…,t k , t k + 1 , …, t n godine obećane isplate OD 1 , OD 2 ,…,OD k , OD k +1 ,…,OD n respektivno. Približne vrijednosti bezrizičnih kamatnih stopa r(t k +1), r(t k +2), …, r(t n) se može naći korištenjem linearne interpolacije na segmentu [ t k , t n]. Za ovo se pretpostavlja r(t n) = r. Bezrizična kamatna stopa r(t k) poznato je. Onda

,

,

……………….. (8.6)

,

r(t n) = r,

gdje t k + 1 , t k + 2 , …, t n – 1 [t k , t n ].

Od cijene obveznice P u momentu t= 0 je tada poznato

Zamjena u ovom izrazu umjesto r(t k + 1), r(t k + 2), …, r(t n) jednakosti (8.6), dobijamo jednačinu sa jednom nepoznatom r. Rješenje ove jednadžbe nalazi se metodom linearne interpolacije. Znajući r, prema formulama (8.6) nalazimo bezrizične kamatne stope r(t k +1), r(t k + 2), …, r(t n). Dakle, imamo terminsku strukturu kamatnih stopa r(t 1), r(t 2), …,r(t k), r(t k +1),…, r(t n) na t n– ljetni raspon u odnosu na trenutak t= 0.

Primjer 8.3. Koristeći linearnu interpolaciju, konstruirajte krivu prinosa ako su poznate godišnje bezrizične kamatne stope:

r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1,5) = 0,08

i daje se obveznica (bez kreditnog rizika) sa sljedećim tokom plaćanja:

Jednačina (8.7) za ovu vezu ima oblik:

Koristimo linearnu interpolaciju na segmentu. Jer r(1,5) = 0,08, r(2,5) = r, onda r(2)0,08
+ r
= 0,04 + 0,5r. Tada je dovoljno riješiti jednačinu

86,01581 =
.

Rješavajući ovu jednačinu linearnom interpolacijom, nalazimo r 0,10489.

shodno tome, r(2) 0,04 + 0,5r = 0,09245, r(2,5)0,10489. Dakle, prema datom r(0,5) = 0,06; r(1) = 0,07; r(1.5) = 0.08 i izračunato

r (2) 0,092; r(2,5)0,105 vrijednosti bezrizičnih kamatnih stopa, možete izgraditi krivu prinosa:

Kriva prinosa dobijena za obveznice bez kreditnog rizika se takođe koristi za procenu rizičnih instrumenata na tržištu. Teorijske vrijednosti bezrizičnih kamatnih stopa uz dodatak premije rizika koriste se za vrednovanje svih vrsta obveznica. Osim toga, oblik krive prinosa se vidi kao odraz vjerovatnog smjera budućih promjena kamatnih stopa. tržište novca. Na sl. 1.8.3 prikazuje četiri glavna oblika krive prinosa: 1 - normalna (rastuća) kriva; 2 - obrnuta (opadajuća) kriva; 3 - "grbava" kriva; 4 – ravna (horizontalna) kriva.

Postoje dvije glavne teorije koje objašnjavaju oblik krive prinosa - teorija očekivanja i teorija segmentacije tržišta. Rastuća kriva najčešće znači očekivano povećanje stope inflacije. Opadajuća kriva najčešće ukazuje na očekivani pad stope inflacije. Horizontalna kriva prinosa znači da su godišnje nerizične kamatne stope za ulaganja iste za sva dospijeća. Horizontalna kriva se koristi u proučavanju nekih od najvažnijih koncepata u teoriji finansijskih ulaganja sa fiksnim prihodom. Na primjer, kao što su trajanje i konveksnost obveznice, trošak ulaganja u obveznicu, imunizacija portfelja obveznica.

U skladu sa algoritmom za određivanje cijene obveznice, predstavljenim u zadatku 2.1, formula za izračunavanje cijene obveznice ima oblik:

gdje je P cijena obveznice; C - kupon u rubljama; N - nominalna vrijednost;

n je broj godina do dospijeća obveznice; r je prinos do dospijeća obveznice. Prema formuli (2.1), cijena obveznice je jednaka:

Zadatak 2.3.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se jednom godišnje. Do dospijeća obveznice 3 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 9%.

P \u003d 1025,31 rubalja.

Zadatak 2.4.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se jednom godišnje. Do dospijeća obveznice 3 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 10%.

P \u003d 1000 rubalja.

Zadatak 2.5.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%. plaćaju jednom godišnje. Do dospijeća obveznice 3 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 11%.

P \u003d 975,56 rubalja.

Pitanje 2.6.

Prinos do dospijeća obveznice je manji od njenog kupona. Da li cijena obveznice treba biti viša ili niža od nominalne?

Cijena obveznice mora biti iznad nominalne. Ovu pravilnost ilustruju problemi 2.2 i 2.3.

Pitanje 2.7.

Prinos do dospijeća obveznice je veći od njenog kupona. Da li cijena obveznice treba biti viša ili niža od nominalne?

Cijena obveznice mora biti ispod nominalne. Ova pravilnost je ilustrovana problemom 2.5.

Pitanje 2.8.

Prinos do dospijeća obveznice jednak je njenom kuponu. Koliko vrijedi obveznica?

Cijena obveznice jednaka je nominalnoj vrijednosti. Ovu pravilnost ilustruje problem 2.4.

Problem 2.9.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se dva puta godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 8%.

Kada se kupon plaća m puta godišnje, formula (2.1) postaje:

Prema (2.2), cijena obveznice je jednaka:

Bilješka.

Ovaj problem se može riješiti primjenom formule (2.1), samo u ovom slučaju treba uzeti u obzir vremenske periode isplate kupona ne u kuponskim periodima, već, kao i do sada, u godinama. Prvi kupon se isplaćuje na pola godine, dakle ima rok dospijeća 0,5 godina, drugi kupon se isplaćuje godinu dana kasnije, ima rok dospijeća od 1 godine i tako dalje. , tj. jednak je:

(1+0,08/2)^2 – 1 = 0,0816.

Prema formuli (2.1), cijena obveznice je:

Problem 2.10.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se dva puta godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 9%.

Prema (2.2), cijena obveznice je 1017,94 rubalja.

Problem 2.11.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se dva puta godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 10%.

P \u003d 1000 rubalja.

Problem 2.12.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se dva puta godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 11%.

P \u003d 982,47 rubalja.

Problem 2.13.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 6%, isplaćuje se dva puta godišnje. Do dospijeća obveznice 3 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 7%.

P \u003d 973,36 rubalja.

Problem 2.14.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%. plaćaju jednom godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine 250 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 8%. Baza 365 dana.

Cijena obveznice je određena formulom (2.1). Ako do dospijeća obveznice nije preostao cijeli broj godina, tada se uzima u obzir stvarno vrijeme isplate svakog kupona. Dakle, isplata prvog kupona će se desiti u trenutku 250/365, drugog kupona u trenutku 1*250/365, itd.

Cijena obveznice je:

Problem 2.15.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se jednom godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine 120 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 12%. Baza 365 dana.

Cijena obveznice je:

Problem 2.16.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kunona 10%, plaća se jednom godišnje. Do dospijeća obveznice 2 godine 30 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 10%. Baza 365 dana.

P \u003d 1091,47 rubalja.

Problem 2.17.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 15 godina do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 11,5%.

Kada obveznica ima mnogo godina do dospijeća, prilično je glomazno koristiti formulu (2.1) direktno. Može se pretvoriti u pogodniji oblik. Zbir diskontiranih vrijednosti kupona obveznice nije ništa drugo do sadašnja vrijednost anuiteta. Imajući na umu ovu napomenu, formula (2.1) se može napisati kao (Formula (2.1) se takođe može transformisati u:):

Problem 2.18.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 8%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 20 godina do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 9,7%.

Prema (2.3), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.19.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 4%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 30 godina do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 4,5%.

P \u003d 918,56 rubalja.

Problem 2.20.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 3%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima rok dospijeća 25 godina. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 4,3%.

P \u003d 803,20 rubalja.

Problem 2.21.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 5%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 18 godina do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 4,8%.

P = 1023,75 rubalja

Problem 2.22.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se dva puta godišnje.

Obveznica ima 6 godina do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako njen prinos do dospijeća treba da bude 8,4% godišnje.

Ako se kupon na obveznicu isplaćuje m puta godišnje, formula (2.2) se može pretvoriti u oblik (Formula (2.4) se također može pretvoriti u oblik:) :

Prema formuli (2.4), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.23.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 7%, isplaćuje se kvartalno. Obveznica ima rok dospijeća od 5 godina. Odredite cijenu obveznice ako njen prinos do dospijeća treba da bude 6,5% godišnje.

Prema (2.4), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.24.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 4%, isplaćuje se kvartalno. Obveznica ima 10 godina do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako njen prinos do dospijeća treba da bude 4,75% godišnje.

P \u003d 940,57 rubalja.

Problem 2.25.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 7%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 11 godina i 45 dana do dospijeća. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 8%. Baza 365 dana.

Ako do dospijeća obveznice nije preostao cijeli broj godina, tada se formula (2.3) može transformirati u oblik:

gdje je t broj dana do isplate sljedećeg kupona;

n je broj punih godina do dospijeća obveznice, odnosno bez uzimanja u obzir nepotpunog kuponskog perioda.

Prema (2.5), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.26.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 5%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima rok dospijeća 14 godina i 77 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 4,8%. Baza 365 dana.

P \u003d 1059,52 rubalja.

Problem 2.27.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 5 godina. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 12% godišnje.

Na obveznicu sa nultim kuponom vrši se samo jedno plaćanje - na kraju perioda njenog opticaja, investitoru se isplaćuje nominalna vrijednost. Stoga je njegova cijena određena formulom:

Prema (2.6), cijena obveznice je: 1000/1,12^5 = 567,43 rubalja.

Problem 2.28.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 3 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 8% godišnje.

P \u003d 793,83 rubalja.

Problem 2.29.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 8 godina. Odredite cijenu obveznice ako njen prinos do dospijeća treba da bude 6% godišnje.

P \u003d 627,41 rubalja.

Problem 2.30.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 5 godina i 20 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 12% godišnje. Baza 365 dana.

Prema (2.6), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.31.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 2 godine i 54 dana. Odredite cijenu obveznice ako njen prinos do dospijeća treba da bude 6,4% godišnje. Baza 365 dana.

P \u003d 875,25 rubalja.

Problem 2.32.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 7 godina. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 8% godišnje. Kuponske obveznice isplaćuju kupone dva puta godišnje.

Ako kuponske obveznice isplaćuju kupone m puta godišnje, onda to znači da je učestalost složene kamate na ulaganja u obveznice m puta godišnje. Da bi se dobila slična učestalost kamata na obveznicu bez kupona, njenu cijenu treba odrediti po formuli:

Prema (2.7), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.33.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 4 godine. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 5% godišnje. Kuponske obveznice isplaćuju kupone četiri puta godišnje.

P = 819,75 rubalja

Problem 2.34.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 30 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 4% godišnje. Baza 365 dana.

Cijena kratkoročne obveznice bez kupona određena je formulom:

gdje je t vrijeme do dospijeća obveznice.

Prema (2.8), cijena obveznice je jednaka:

Problem 2.35.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 65 dana. Odredite cijenu obveznice ako njen prinos do dospijeća treba da bude 3,5% godišnje. Baza 365 dana.

P \u003d 993,81 rubalja.

Problem 2.36.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 4 dana. Odredite cijenu obveznice ako je njen prinos do dospijeća 2% godišnje. Baza 365 dana.

P \u003d 999,78 rubalja.

Problem 2.37.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%. Obveznica košta 953 rublje. Odredite trenutni prinos obveznice.

Trenutni prinos obveznice određuje se formulom:

gdje je rT - strujni prinos; C - kupon obveznice; P je cijena obveznice.

Prema (2.9), trenutni prinos obveznice je jednak:

Problem 2.38.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 8%. Obveznica košta 1014 rubalja. Odredite trenutni prinos obveznice.

Problem 2.39.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon 3,5%. Obveznica košta 1005 rubalja. Odredite trenutni prinos obveznice.

Problem 2.40.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 3 godine. Obveznica košta 850 rubalja. Odredite prinos do dospijeća obveznice.

Prinos do dospijeća obveznice sa nultim kuponom određen je formulom (izvedenom iz formule 2.6):

Prema (2.10), prinos obveznice je:

Problem 2.41.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 5 godina. Obveznica košta 734 rublje. Odredite prinos do dospijeća obveznice.

Problem 2.42.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 2 godine. Obveznica košta 857,52 rubalja. Odredite prinos do dospijeća obveznice.

Problem 2.43.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1000 rubalja, papir se otkupljuje za 4 godine i 120 dana. Obveznica košta 640 rubalja. Odredite prinos do dospijeća obveznice. Baza 365 dana.

Problem 2.44.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1.000 rubalja. Obveznica dospijeva za tri godine. Investitor je kupio obveznicu po cijeni od Rs. i prodat nakon 1 godine 64 dana za 910 rubalja. Odredite profitabilnost poslovanja investitora godišnje. Baza 365 dana.

Problem 2.45.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1.000 rubalja. Obveznica dospijeva za tri godine. Investitor je kupio obveznicu po cijeni od Rs. i prodat nakon 120 dana za 873 rublje. Profitabilnost poslovanja investitora po godini utvrditi na osnovu: 1) proste kamate; 2) efektivna kamata. Baza 365 dana.

Problem 2.46.

Nominalna vrijednost obveznice bez kupona je 1.000 rubalja. Obveznica dospijeva za četiri godine. Investitor je kupio obveznicu za 887,52 rublja. i prodat nakon 41 dana za 893,15 rubalja. Profitabilnost poslovanja investitora po godini utvrditi na osnovu: 1) proste kamate; 2) efektivna kamata. Baza 365 dana.

2) ref = 5,79%.

Problem 2.47.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 7%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima rok dospijeća od 5 godina. Obveznica košta 890 rubalja. Odredite približni prinos do dospijeća obveznice.

Prinos do dospijeća kuponske obveznice može se približno odrediti iz formule:

gdje je r - prinos do dospijeća; N je nominalna vrijednost obveznice; C - kupon; P je cijena obveznice; n je broj godina do dospijeća.

Prema (2.11), prinos je jednak:

Problem 2.48.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 8%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 6 godina do dospijeća. Obveznica košta 1053 rublje. Odredite njegov prinos do dospijeća.

Problem 2.49.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 9%, isplaćuje se dva puta godišnje. Obveznica ima 4 godine do dospijeća. Obveznica košta 1040 rubalja. Odredite njegov prinos do dospijeća.

Komentar.

Za obveznicu koja isplaćuje kupon m puta godišnje, formula procijenjenog prinosa će imati sljedeći oblik:

Međutim, u ovom slučaju, r je prinos po kuponskom periodu. Dakle, ako je m = 2, onda dobijate profitabilnost za šest mjeseci. Za prevođenje rezultirajućeg prinosa po godini, treba ga pomnožiti sa vrijednošću m. Dakle, za izračunavanje procijenjenog prinosa na obveznice sa isplatom kupona m puta godišnje, može se odmah koristiti formula (2.11).

Problem 2.50.

Odrediti tačan prinos do dospijeća obveznice u zadatku 2.48 linearnom interpolacijom.

Formula za određivanje prinosa veze linearnom interpolacijom je:

Tehnika za izračunavanje prinosa pomoću formule (2.13) je sljedeća. Odredivši približni prinos obveznice po formuli (2.11), investitor bira vrijednost r1 koja je niža od dobijene vrijednosti procijenjenog prinosa i za njega izračunava odgovarajuću cijenu obveznice P1 koristeći formulu (2.1 ) ili (2.3). Tada uzima vrijednost r2, koja

veća od vrijednosti procijenjenog prinosa, i za to izračunava cijenu P2. Dobijene vrijednosti zamjenjuju se u formulu (2.13).

U zadatku 2.48, procijenjeni prinos je bio 6,93% godišnje. Uzmimo r1 = 6%. Tada po formuli (2.3):

Uzmimo r2 = 7%. Prema formuli (2.3):

Problem 2.51.

Odrediti tačan prinos do dospijeća obveznice u zadatku 2.47 linearnom interpolacijom.

U problemu 2.47, procijenjeni prinos je bio 9,74% godišnje. Uzmimo r1 = 9%. Prema formuli (2.3):

Uzmimo r2 = 10%. Prema formuli (2.3):

Prema (2.13), tačan prinos do dospijeća obveznice je:

Problem 2.52.

Odredite tačan prinos do dospijeća obveznice za problem 2.49 linearnom interpolacijom.

U zadatku 2.49, procijenjeni prinos je bio 7,84% godišnje. Uzmimo r1 = 7%. Prema formuli (2.4):

Uzmimo r2 = 8%. Prema formuli (2.4):

Tačan prinos do dospijeća obveznice je:

Problem 2.53.

Nominalna vrijednost kratkoročne obveznice bez kupona je 1000 rubalja, cijena je 950 rubalja. Obveznica dospijeva za 200 dana. Odredite prinos do dospijeća obveznice. Baza 365 dana.

Prinos do dospijeća kratkoročne obveznice bez kupona određuje se po formuli:

Problem 2.54.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, cijena je 994 rubalja. Obveznica dospijeva za 32 dana. Odredite prinos do dospijeća obveznice. Baza 365 dana.

Prema (2.14), prinos obveznice je jednak:

Problem 2.55.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, cijena je 981 rublja. Obveznica dospijeva za 52 dana. Odredite prinos do dospijeća obveznice. Baza 365 dana.

r = 13,6% godišnje.

Problem 2.56.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, cijena je 987,24 rubalja. Obveznica dospijeva za 45 dana. Odredite prinos do dospijeća obveznice. Baza 365 dana. Odgovori. r = 10,48% godišnje.

Problem 2.57.

Odrediti efektivni prinos obveznice za problem 2.54.

Problem 2.58.

Odrediti efektivni prinos obveznice za problem 2.56.

Odgovori. ref = 10,97%.

Problem 2.59.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 6%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica dospijeva za tri godine. Investitor je kupio obveznicu po cijeni od Rs. i prodat nakon 57 dana za 859 rubalja. U periodu držanja obveznice, kupon na papiru nije isplaćen. Utvrditi profitabilnost poslovanja investitora: 1) na osnovu 57 dana; 2) godišnje po osnovu proste kamate; 3) efektivnu kamatu na operaciju. Baza 365 dana.

Problem 2.60.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 6%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica dospijeva za tri godine. Investitor je kupio obveznicu po cijeni od Rs. i prodat nakon 57 dana za 800 rubalja. Na kraju perioda držanja obveznice, kupon je isplaćen na papiru. Odredite godišnji prinos na transakciju investitora na osnovu proste kamate. Baza 365 dana.

2.3. Ostvarena kamata (prinos)

Problem 2.61.

Investitor kupuje obveznicu po nominalnoj vrijednosti, nominalna vrijednost je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima rok dospijeća od 5 godina. Investitor vjeruje da će u tom periodu moći reinvestirati kupone po 12% godišnje. Odredite ukupan iznos sredstava koji će deponent dobiti na ovom papiru ako ga drži do dospijeća.

Nakon pet godina, investitoru će biti isplaćena nominalna vrijednost obveznica. Iznos isplata kupona i kamata od njihovog reinvestiranja predstavlja buduću vrijednost anuiteta. Stoga će biti:

ukupan iznos sredstva koja će investitor dobiti za pet godina jednaka su:

1000 + 635,29 = 1635,29 rubalja

Problem 2.62.

Investitor kupuje obveznicu po nominalnoj vrijednosti, nominalna vrijednost je 1000 rubalja, kupon je 8%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima 4 godine do dospijeća. Investitor vjeruje da će u tom periodu moći reinvestirati kupone po 6% godišnje. Odredite ukupan iznos sredstava koji će deponent dobiti na ovom papiru ako ga drži do dospijeća.

Visina isplate kupona i kamata od njihovog reinvestiranja za četiri godine jednaka je:

Uzimajući u obzir isplatu nominalne vrijednosti, ukupan iznos sredstava na obveznici u četiri godine će biti:

1000 + 349,97 = 1349,97 rubalja

Problem 2.63.

Investitor kupuje obveznicu po nominalnoj vrijednosti, nominalna vrijednost je 1000 rubalja, kupon je 8%. plaćaju jednom godišnje. Obveznica ima šest godina do dospijeća. Investitor vjeruje da će u naredne dvije godine moći reinvestirati kupone po 10%, au preostale četiri godine po 12%. Odredite ukupan iznos sredstava koji će deponent dobiti na ovom papiru ako ga drži do dospijeća.

Iznos kupona i kamata od njihovog reinvestiranja za prve dvije godine (za prva dva kupona) će biti:

(To jest, za godinu dana investitor će dobiti prvi kupon i reinvestirati ga na godinu dana sa 10%, godinu dana kasnije će dobiti sljedeći kupon. Ukupno će to dati 168 rubalja.) Primljeni iznos se ulaže na 12% za preostale četiri godine:

168 * 1,12 ^ 4 \u003d 264,35 rubalja.

Visina isplate kupona i kamata od njihovog reinvestiranja 12% za četiri posljednjih godina bice:

1000 + 264,35 + 382,35 \u003d 1646,7 rubalja.

Problem 2.64.

Investitor kupuje obveznicu po nominalnoj vrijednosti, nominalna vrijednost je 1000 rubalja, kupon je 6%, isplaćuje se jednom godišnje. Obveznica ima tri godine do dospijeća. Investitor vjeruje da će u naredne dvije godine moći reinvestirati kupone od 7%. Odredite ukupan iznos sredstava koji će deponent dobiti na ovom papiru ako ga drži do dospijeća.

Investitor ima mogućnost reinvestiranja prvog i drugog kupona po 7%. Treći kupon će biti isplaćen kada se obveznica otkupi. Dakle, iznos kupona i kamata od njihovog reinvestiranja nije ništa drugo do trogodišnji anuitet. Fro buduću vrijednost je jednako:

Ukupan iznos koji će investitor dobiti na obveznicu jednak je:

1000 + 192,89 = 1192,89 rubalja

Problem 2.65.

Odrediti ostvareni procenat za uslove zadatka 2.64.

Realizovana kamata je procenat koji izjednačava zbir svih budućih prihoda koje investitor očekuje da će dobiti od obveznice sa njenom trenutnom cijenom. Određuje se formulom:

Problem 2.66.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 6%, isplaćuje se jednom godišnje. Investitor kupuje obveznicu za Rs. Obveznica ima tri godine do dospijeća. Investitor vjeruje da će moći reinvestirati kupone po 8%. Odredite ostvarenu kamatu na obveznicu ako je investitor drži do dospijeća.

Ukupan iznos sredstava u trenutku otkupa obveznica će biti:

Prema (2.15), ostvarena kamata na obveznicu je jednaka:

Problem 2.67.

Dokažite da je horizontalnom krivom prinosa ukupan iznos sredstava, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, koji će investitor dobiti od posjedovanja obveznice kada se ona otkupi jednak P(1+r)n, gdje je n preostalo vrijeme do otkupa obveznice.

Cijena obveznice je:

Pomnožite lijevu i desnu stranu jednakosti (2.16) sa (1+r)n:

Jednakost (2.17) pokazuje da je ukupan iznos sredstava, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, koji će investitor dobiti od držanja obveznice sa horizontalnom strukturom krive prinosa jednak P(1+r)n. To slijedi iz desne strane jednakosti (2.17). Na desnoj strani se prvi kupon, koji investitor dobije za godinu dana, reinvestira za period (n - 1), drugi kupon

za period (n - 2) itd. Kada se obveznica otkupi, plaća se posljednji kupon i nominalna vrijednost. Formula (2.17) pokazuje da je ukupan iznos sredstava na obveznici, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, jednak ulaganju iznosa koji je jednak cijeni obveznice pod postojeći procenat do dospijeća papira.

Problem 2.68.

Investitor je kupio obveznicu i prodat će je t godina prije dospijeća odmah nakon isplate sljedećeg kupona. Dokažite da je sa horizontalnom strukturom krive prinosa ukupan iznos sredstava, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, koji će investitor dobiti od držanja obveznice jednak P(1+r)^(n – t), gdje je n – t vrijeme u kojem će investitor držati obveznicu.

Cijena obveznice je:

Investitor planira hartiju od vrijednosti t godina prije dospijeća prodati odmah nakon isplate sljedećeg kupona, odnosno držat će je n - t godina. Pomnožite lijevu i desnu stranu jednakosti (2.18) sa (1+r)^(n – t):

U jednakosti (2.19), posljednji uvjeti nisu ništa drugo do cijena obveznice, kada do njenog dospijeća ostane t godina, označavamo je sa Rt:

Stoga zapisujemo (2.19) kao:

Jednakost (2.20) pokazuje da je ukupan iznos sredstava, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, koji će investitor dobiti od držanja obveznice jednak P(1+r)^(n – t).

Problem 2.69.

Investitor je kupio kuponsku obveznicu sa deset godina do dospijeća za 887 rubalja. Kupon obveznice se isplaćuje jednom godišnje. Sutradan je prinos do dospijeća obveznice pao na 11%, a cijena joj je porasla na 941,11 rubalja. Odrediti godišnji prinos koji bi investitor dobio na obveznicu, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona (ostvareni prinos), da je kamatna stopa ostala na 11% i da je prodao papir za tri godine.

Prema formuli (2.20), ukupan iznos sredstava na obveznici, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, koje će investitor dobiti od posjedovanja obveznice i prodaje u trenutku t, jednak je P(1+r)^ (n – t). Ukupan iznos prihoda koji investitor dobije na obveznicu nakon tri godine jednak je:

Investitor je kupio papir za 887 rubalja. Ostvareni prinos je:

Bilješka.

U zadatku 2.69, formula za određivanje ostvarenog prinosa može se predstaviti u jednom koraku:

gdje je rr ostvareni prinos;

Pn - nova cijena obveznice nakon promjene kamatne stope na tržištu;

P je cijena po kojoj je obveznica kupljena;

r je kamatna stopa koja odgovara nova cijena obveznice.

Problem 2.70.

Za uslove zadatka 2.69 odrediti godišnji prinos koji će investitor dobiti na obveznicu, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, ako papir proda za devet godina.

Prema formuli (2.21), ostvareni prinos na obveznicu za devet godina je:

Problem 2.71.

Investitor je kupio kuponsku obveznicu sa deset godina do dospijeća za 1.064,18 rubalja. Kupon obveznice se isplaćuje jednom godišnje. Sljedećeg dana prinos do dospijeća obveznice je pao na 8%, a cijena joj je porasla na 1134,20 rubalja. Odrediti godišnji prinos koji bi investitor dobio na obveznicu, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, da je kamatna stopa ostala na 8% i da je prodao papir za tri godine.

Prema (2.21), ostvareni prinos na obveznicu za tri godine je:

Problem 2.72.

Za uslove zadatka 2.71 odrediti godišnji prinos koji će investitor dobiti na obveznicu, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, ako proda papir za devet godina.

Problem 2.73.

U Problemu 2.71, investitor je nakon tri godine držanja obveznice dobio ostvareni prinos od 10,32%. U problemu 2.72, nakon držanja slične obveznice 9 godina, investitor je dobio ostvareni prinos od 8,77%. Objasnite zašto se u drugom slučaju smanjio prinos na držanje obveznice.

U problemima 2.71 i 2.72, nakon kupovine obveznice, njen prinos do dospijeća je opao, pa je i cijena porasla. Kratkoročni investitor je imao koristi od pada stopa. Za dugoročnog investitora ovaj efekat je manji ili izostaje, jer kako se datum dospijeća obveznice približava, njena cijena se približava nominalnoj vrijednosti. Istovremeno, kratkoročni investitor reinvestira kupone na više nisko interesovanje(8%) na kraće vrijeme od dugoročnog. Stoga će ostvareni prinos dugoročnog investitora biti manji od kratkoročnog.

Problem 2.74.

Investitor je kupio kuponsku obveznicu sa još petnaest godina do dospijeća za 928,09 rubalja. Kupon obveznice se isplaćuje jednom godišnje. Sljedećeg dana prinos do dospijeća obveznice je porastao na 12%, a cijena joj je pala na 863,78 rubalja. Odrediti godišnji prinos koji će investitor dobiti na obveznicu, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, ako kamatna stopa ostane 12% i on proda papir za četiri godine.

Prema (2.21), ostvareni prinos na obveznicu tokom četiri godine je:

Problem 2.75.

Za uslove zadatka 2.74 odrediti godišnji prinos koji će investitor dobiti na obveznicu, uzimajući u obzir reinvestiranje kupona, ako proda papir za deset godina.

Problem 2.76.

U problemu 2.74, investitor je nakon četiri godine držanja obveznice dobio ostvareni prinos od 10%. U problemu 2.75, nakon posjedovanja slične obveznice 10 godina, investitor je dobio ostvareni prinos od 11,2%. Objasnite zašto se u drugom slučaju povećao prinos na držanje obveznice.

U zadacima 2.74 i 2.75, nakon kupovine obveznice, njen prinos do dospijeća je povećan, pa je i cijena opala. Kratkoročni investitor gubi od rasta stope. Za dugoročnog investitora ovaj efekat je manji ili izostaje, jer kako se datum dospijeća obveznice približava, njena cijena se približava nominalnoj vrijednosti. Pored toga, kratkoročni investitor reinvestira kupone na više visok procenat(12%) na kraći vremenski period od dugoročnog. Stoga će ostvareni prinos za dugoročnog investitora biti veći nego za kratkoročnog.

Problem 2.77.

Investitor je kupio kuponsku obveznicu sa deset godina do dospijeća za 887 rubalja. Prinos do dospijeća obveznice je 12%. Kupon obveznice se isplaćuje jednom godišnje. Sutradan je prinos do dospijeća obveznice pao na 11%, a cijena joj je porasla na 941,11 rubalja. Odredite koliko dugo investitor mora držati obveznicu da bi ostvareni prinos bio 12% ako tržišna kamatna stopa ostane na 11%.

Ostvareni prinos je:

gdje je T vrijeme u kojem investitor drži obveznicu.

Nađimo vrijednost T iz (2.22). Da bismo to učinili, transformiramo (2.22) na sljedeći način:

Uzimamo prirodni logaritam iz oba dijela (2.23) i izvlačimo eksponent iz predznaka logaritma:

Da bi investitor ostvario ostvareni prinos od 12% godišnje, mora prodati obveznicu putem:

Problem 2.78.

Investitor je kupio kuponsku obveznicu sa deset godina do dospijeća za 887 rubalja. Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 10%, isplaćuje se jednom godišnje. Prinos do dospijeća obveznice je 12%. Sljedećeg dana prinos do dospijeća obveznice je porastao na 13%. Odredite koliko dugo investitor mora držati obveznicu da bi ostvareni prinos bio 12% ako tržišna kamatna stopa ostane na 13%.

Uz rast prinosa do dospijeća do 13%, cijena obveznice pala je na 837,21 rublju. Da bi investitor ostvario ostvareni prinos od 12% godišnje, mora prodati obveznicu putem:

Problem 2.79.

Za uslove zadatka 2.78 odredite koliko dugo investitor mora da drži obveznicu da bi ostvareni prinos bio 12,3% ako tržišna kamatna stopa ostane 13%.

Problem 2.80.

Investitor je kupio kuponsku obveznicu sa prinosom od 8% do dospijeća. Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja, kupon je 8,5%, isplaćuje se jednom godišnje. Sljedećeg dana prinos do dospijeća obveznice je porastao na 8,2%. Odredite koliko dugo investitor mora držati obveznicu da bi ostvareni prinos bio 8% ako tržišna kamatna stopa ostane na 8,2%. Obveznica ima rok dospijeća od 5 godina.

Investitor je kupio obveznicu po cijeni od 1019,96 rubalja. Nakon rasta prinosa do dospijeća, cijena obveznice je pala na 1011,92 rublje. Investitor mora prodati obveznicu putem:

2.4. Trajanje

Problem 2.81.

Izvedite Macaulayovu formulu trajanja na osnovu definicije trajanja kao elastičnosti cijene obveznice u odnosu na kamatnu stopu.

Prema definiciji trajanja kao elastičnosti cijene obveznice u odnosu na kamatnu stopu, možemo napisati:

gdje je D - Macaulay trajanja; P je cijena obveznice; dP - mala promjena cijene obveznice; r - prinos do dospijeća obveznice; dr - mala promjena u prinosu do dospijeća.

U formuli (2.25) postoji znak minus da indikator trajanja postane pozitivna vrijednost, jer se cijena obveznice i kamatna stopa mijenjaju u suprotnim smjerovima.

U jednačini (2.25), omjer dP/dr je derivat cijene obveznice u odnosu na kamatnu stopu. Na osnovu formule za cijenu obveznice sa isplatama kupona jednom godišnje (2.1), jednaka je:

Zamijenimo u jednakost (2.25) vrijednost dP/dr iz jednakosti (2.26):

Problem 2.82.

Komemorirane obveznice 1000 rubalja. 10% kupona, isplaćuje se jednom godišnje, 4 godine do dospijeća, 8% prinosa do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

Cijena obveznice je:

Trajanje je:

Problem 2.83.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. 10% kupona, isplaćuje se jednom godišnje, 4 godine do dospijeća, 10% prinosa do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

Prema (2.27), trajanje je jednako:

Problem 2.84.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. 10% kupona, isplaćuje se jednom godišnje, 4 godine do dospijeća, 12% prinosa do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

Cijena obveznice je:

Trajanje je:

Problem 2.85.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. Kupon 10%, isplaćuje se jednom godišnje, 4 godine do dospijeća, 13% prinos do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

D = 3,46 godina.

Pitanje 2.86.

Kako Macaulay trajanje zavisi od prinosa do dospijeća obveznice?

Što je veći prinos do dospijeća, to je kraće trajanje. Ovaj obrazac je ilustrovan zadacima 2.82 - 2.85.

Problem 2.87.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. Kupon 6%, isplaćuje se jednom godišnje, 8 godina do dospijeća, 5% prinos do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

D = 6.632 godine.

Problem 2.88.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. kupon 6,5%, isplaćuje se jednom godišnje, do dospijeća papira 8 godina, prinos do dospijeća 5%. Odredite Macaulay trajanje veze.

D = 6.562 godine.

Problem 2.89.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. Kupon od 7%, isplaćuje se jednom godišnje, 8 godina do dospijeća, 5% prinosa do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

D = 6.495 godina.

Pitanje 2.90.

Kako trajanje Macaulaya ovisi o veličini kupona obveznice?

Što je kupon veći, to je kraće trajanje. Ovaj obrazac je ilustrovan zadacima 2

Problem 2.91.

Nominalna vrijednost obveznice je 1000 rubalja. 10% kupona, isplaćuje se dva puta godišnje, 4 godine do dospijeća, 10% prinosa do dospijeća. Odredite Macaulay trajanje veze.

Prilikom utvrđivanja prinosa portfelja obveznica, oni polaze od iznosa smanjenog do određenog trenutka t o tokovi prihoda od svake obveznice u portfelju. Pretpostavimo da portfolio sadrži " M"obveznice različitih vrsta, sa brojem obveznica svake vrste jednakim Obveznice svake vrste imaju dospijeće obveznica po nominalnoj vrijednosti N m i stope kupona sa m. Ovakvom formulacijom problema ukupna tržišna vrijednost portfelja obveznica može se odrediti formulom:

(5.27)

gdje je tržišna vrijednost obveznice m-ti tip, izračunato po formuli:

(5.28)

S druge strane, portfelj obveznica stvara tok prihoda koji se može okarakterizirati sljedećim parametrima: Si- ukupni prihodi od obveznica svih vrsta, koji su pristigli u tom trenutku t = ti, i - prinos portfelja obveznica. Sadašnja vrijednost ovog toka plaćanja može se odrediti formulom sličnom formuli (2.2):

(5.29)

gdje N max- maksimalni rok isplata prihoda po svim obveznicama portfelja.

Prinos portfelja obveznica može se odrediti pod uslovom, tj. iz rješenja jednadžbe:

(5.30)

Vrijednost prinosa portfelja obveznica može se pronaći rješavanjem jednačine (5.30) iterativnim metodama ili na osnovu metode linearne interpolacije između minimalne i maksimalne vrijednosti prinosa portfelja, ograničavajući interval unutar kojeg se postiže željena vrijednost prinosa portfelja obveznica. prinos portfelja obveznica je lociran. Kada se koristi metoda linearne interpolacije, prinos portfelja se može odrediti formulom:

gdje je - tržišna vrijednost portfelja obveznica, određena formulama (5.27) i (5.28);

I - sadašnja vrijednost toka plaćanja, određena formulom (5.29) kada se koristi u obračunu stopa prinosa i, respektivno.

Razmotrimo metodologiju za izračunavanje prinosa na primjeru portfelja koji se sastoji od dvije vrste obveznica.

Primjer 5.2. Portfolio obveznica se sastoji od dvije vrste obveznica sa sljedećim karakteristikama:

Prvo trljanje veze; OD 1 = 0,08, godine;

Druga rubrika; OD 2 = 0,05, godine.

Odredite prinos portfelja obveznica ako je broj obveznica prve i druge vrste isti

Rješenje: Odredimo tržišnu vrijednost prve vrste obveznice pomoću formule (5.28):

rub.

Slično, utvrđujemo tržišnu vrijednost druge vrste obveznica:

rub.

Ukupna tržišna vrednost portfelja obveznica u skladu sa formulom (5.27) biće:

Izračunajte ukupan tok plaćanja Si na obveznice prve i druge vrste. U tabeli. 5.2 prikazuje iznose plaćanja po obveznicama prve i druge vrste i ukupan tok Si.

Tabela 5.2

proračun ukupni protok plaćanja

Za dvije veze, utrljajte.

Pošto je broj veza prvog i drugog tipa isti, jednačina (5.30) se može zapisati kao:

(5.32)

Izračunajmo sadašnju vrijednost ukupnog toka plaćanja za različite vrijednosti:

Rezultati proračuna dati su u tabeli. 5.3.

M.: Delo, 2004. - 280 str.
ISBN 5-7749-0200-5
Skinuti(direktan link) : invest-analiz.djvu Prethodni 1 .. 31 > .. >> Sljedeći

Trenutni prinos - odnos prihod od kupona na kupoprodajnu cijenu.

Prinos do dospijeća uzima u obzir prinos kupona i prinos od otkupa (ponekad se naziva premise stopa).

Prinos po vrstama obveznica. /. Obveznice bez obaveznog otkupa sa periodičnim plaćanjem kamata. Ako je c kuponska stopa, rt je tada trenutni prinos

r, \u003d Ms / P \u003d c 100 / K. (9.1)

2. Obveznice bez plaćanja kamata. Prinos se formira kao razlika između nominalne i nabavne cijene. Cijena ove obveznice je manja od 100.

Bilans operacije će biti zapisan na sljedeći način: P = M(I + r)~", gdje je n dospijeće obveznice, r je ukupan prinos obveznice, (1 + r)~n = A/ 100;

g "1 / 4JK / 100 - 1. (9 2)

PRIMJER. Izdata je obveznica bez kupona sa rokom dospijeća od 10 godina. Stopa obveznice - 60. Pronađite ukupan prinos na dan dospijeća.

Rješenje, r = 1 / (^60/100) -1 - 0,052, ili 5,2%.

3. Obveznice sa isplatom kamate i nominalne vrijednosti na kraju roka (reinvestiranje prihoda od kupona). Operativni bilans: M (1 + c)n (1 + r)~n = P ili [(1 + c)/(1 + r)]" = /r/100;

r"(1+s)/^AG/100-1. (9 3)

PRIMJER. Obveznice sa prihodom od 15% godišnje od nominalne vrijednosti, stopom 80, rokom dospijeća 5 godina. Pronađite ukupan prinos ako se nominalna vrijednost i kamata isplate na kraju roka.

Rješenje, r = (1 + 0,15) / ^ / 80/100 -1 = 0,202, ili 20,2%.

4. Obveznice sa periodičnim plaćanjem kamata i otkupom po nominalnoj vrijednosti na kraju roka. Operativni bilans:

CM CM CM M

1 + r (1 + r)2 (1 + r)" (1 + r)"

P \u003d M (I + r) "n + cM ^j (I + r)"", gdje je / period od kupovine obveznica do isplate prihoda od kupona.

Određivanje nepoznate vrijednosti ukupnog prinosa može se izvršiti pomoću tri metode: tzv. aproksimativne metode, metode linearne ekstrapolacije i metode pokušaja i greške.

Za približnu metodu koristi se formula

CM + (M - P)In

(M+P)? KU"

c + (1 -Yu / p G-- (1-L) / 2 (96)

Da bismo koristili metodu linearne interpolacije (opis metode dat je u odjeljku 3.6), podijelimo oba dijela formule (9.4) sa M:

A / 100 \u003d (1 + r) - "+ cV, (9,7)

gdje je ar koeficijent smanjenja rente po stopi r za period n.

Ukupni povrat r se može naći linearnom interpolacijom:

gdje su n i gv - donja i gornja granica ukupne profitabilnosti; Kn i K3 - donja i gornja granica kursa izračunata za h i g prema formuli (9.7); Kv< К < Кн.

Treba napomenuti da kako se prinos povećava, cijena obveznice opada.

PRIMJER. Kupljena je obveznica sa rokom dospijeća od 6 godina sa kamatnom stopom od 10% po stopi od 95. Odrediti ukupan prinos.

Rješenje. Za određivanje koeficijenata smanjenja rente ag koristimo već poznatu formulu (3.20).

Stavimo rI = 10%, /"v = 15%. Onda:

KJlOO \u003d 1,10 "6 + 0,1<76;IO = 0,564 + 0,1 4,355 = 0, 99;

Kjm \u003d 1,15 "6 + 0,1 i6: 15 = 0,432 + 0,1 3,784 = 0,81;

/*= 0,10 + [(0,99 - 0,95)/(0,99 - 0,81)] (0,15 - 0,10) = 0,11.

Provjerite: 1,11 "6 + 0,1 a.i = 0,535 + 0,1 4,23 = 0,958.

Metoda pokušaja i greške sastoji se u odabiru vrijednosti r na takav način da se jednakost (9.4) (ili (9.7)) pokaže kao tačna.

Trajanje je jedan od pokazatelja volatilnosti obveznica. Ovaj izraz je paus papir od engleskog duration, što se prevodi kao "trajanje". Ovaj indikator je prvi proučio Frederick Macaulay 1938. On je definisao ovaj indikator kao ponderisanu prosječnu dospijeću novčanog toka hartije od vrijednosti1. Macaulay trajanje se izračunava pomoću formule:

gdje je t element dospijeća ili novčanog toka obveznice; CF1 je vrijednost elementa novčanog toka obveznice u godini /; r - prinos do dospijeća (puni prinos).

Macaulay indeks trajanja, izračunat po formuli (9.9), mjeri se u godinama.

Posebnu pažnju treba obratiti na činjenicu da se diskontovanje vrši po stopi prinosa do dospijeća, koja se prvo mora utvrditi, za šta se mogu koristiti gore opisane metode. Osim toga, napominjemo da je imenilac formule za izračunavanje trajanja cijena obveznice, jer

Za obveznice za koje se prihod od kupona isplaćuje m puta godišnje, formula za obračun ima oblik:

9.4. Trajanje

(prosječno trajanje plaćanja)

2 CF1(I + gG<

¦2 CZ)(I + g/tG

Priručnik hartija od vrijednosti sa fiksnim prihodom. P. 85.

PRIMJER. Obveznica sa rokom dospijeća od 6 godina, kuponska stopa - 10%, nominalna vrijednost - $100. Prinos do dospijeća - 11%.

Tabela 9.2

1
(1+r)""
CF1
CF1(X + g)""
tCFt(\+r)-"

I
0,9009
10
9,009
9,009

2
0,8116
10
8,P6
16,232

3
0,7312
10
7,312
21,936

4
0,6587
10
6,587
26,348

5
0,5935
10
5,935
29,675

6
0,5346
on
58,806
352,836

95,765
451,4272

Dobijamo:

D = 451,4272/95,765 = 4,7 godina.

Trajanje se takođe može posmatrati kao elastičnost cene obveznice na promenu kamatne stope (tačnije, vrednost 1 + r). Uopšteno govoreći, koeficijent elastičnosti je omjer relativnog povećanja jednog indikatora prema relativnom povećanju drugog indikatora. U ovom slučaju, ti indikatori su cijena obveznice i kamatna stopa.

Praksa formiranja investicionih portfelja međunarodnih kompanija pokazuje da investitori često nemaju dovoljno informacija o tržišnim cijenama obveznica kako bi optimizirali svoj portfolio. Dakle, prilikom odabira određenih obveznica u optimalni investicioni portfolio, potrebno je procijeniti finansijsku efikasnost svojih odluka, što je gotovo nemoguće učiniti bez izračunavanja prinosa vrijednosnih papira odabranih za investicijski portfolio. Obračun prinosa obveznica, odnosno tzv investiciona norma, što će obveznica pružiti kada se kupi po datoj cijeni ostaje možda najvažnije pitanje u vezi s obveznicama. Tek njegovim rješavanjem investitor može odrediti koja će mu od nekoliko obveznica pružiti najbolju investiciju.

U najopštijem slučaju, pod profitabilnost svaka investicija se shvata kao kamatna stopa koja vam omogućava da izjednačite sadašnju vrijednost novčanih tokova određene investicije sa cijenom (vrijednošću) investicije.

U slučaju ulaganja u obveznice, prinos obveznice je kamatna stopa r, koja zadovoljava sljedeće jednačine:

1) obveznice bez kupona:

Određivanje prinosa obveznice bez kupona

nulti kupon prinos je, u skladu sa navedenim, godišnja kamatna stopa koju prima investitor koji je kupio i posjeduje ovu obveznicu do njenog otkupa.

Da biste odredili prinos na obveznice sa nultim kuponom s rokom dospijeća duže od jedne godine, trebali biste koristiti formulu za sadašnju vrijednost obveznice

Primjer. Uzmite u obzir obveznicu bez kupona sa rokom dospijeća od 2 godine (n = 2), čija je nominalna vrijednost 1.000 $, a otkupna cijena 880 $. Potreban prinos je 8% godišnje.

Njegova profitabilnost će biti

2) obveznice sa isplatama kupona:

Izračun svjedoči o necjelishodnosti kupovine predmetne obveznice od strane investitora.

Određivanje prinosa na kuponsku obveznicu

Za kuponsku obveznicu, za razliku od obveznice bez kupona, razlikuju se tekući prinos i interna stopa povrata ili prinos do dospijeća.

Trenutni prinos se izračunava po formuli

gdje je trenutni prinos; OD – kuponski prinos na obveznicu (kupon); R - trenutnu cijenu obveznice.

Bilješka. Ovdje se koristi trenutna cijena, a ne cijena koju je za obveznicu platio investitor.

Prilikom obračuna tekućeg prinosa uzimaju se u obzir samo isplate kupona. Ostali drugi izvori prihoda koje ima vlasnik obveznice ne uzimaju se u obzir. Ne uzima u obzir, na primjer, kapitalnu dobit koju je primio investitor koji kupi obveznicu uz diskont i drži je do dospijeća; istovremeno se ne uzima u obzir gubitak koji investitor pretrpi ako je zadržao do dospijeća obveznicu kupljenu uz premiju. Vremenska vrijednost novca također se ovdje ne uzima u obzir.

Dakle, trenutni prinos je, slikovito rečeno, fotografija prinosa u datom trenutku, koji se u narednom trenutku može promijeniti u skladu sa promjenama tržišne cijene obveznice. Preporučljivo je koristiti indikator tekućeg prinosa kada je preostalo malo vremena do dospijeća obveznice, jer u ovom slučaju nije vjerovatno da će njena cijena doživjeti značajne fluktuacije.

Objektivniji pokazatelj prinosa je prinos do dospijeća, odnosno interni prinos, budući da se pri njegovom izračunavanju uzima u obzir ne samo kuponski prinos i cijena obveznice, već i vremenski period koji ostaje do dospijeća. Interni prinos se može izračunati korištenjem formule za procjenu tržišne cijene obveznice

Obveznice su predmet živahnog trgovanja, tako da učesnici na berzi znaju ne samo nominalnu vrijednost i stopu kupona, već i tržišnu cijenu svake hartije od vrijednosti. Ako pretpostavimo da tržište karakteriše stanje savršene konkurencije, možemo pretpostaviti da je cijena obveznice jednaka njenoj sadašnjoj vrijednosti.

Dakle, kupac obveznice zna težinu parametara jednadžbe cijene obveznice, osim diskontne stope r. Stoga se formula sadašnje vrijednosti može koristiti za izračunavanje vrijednosti diskontne stope, ili internog prinosa, na osnovu tržišnih informacija. r .

Nažalost, ova jednačina se ne može riješiti u konačnom obliku: profitabilnost je moguće izračunati samo uz pomoć posebnog kompjuterskog programa. Također možete koristiti metodu zamjene različitih vrijednosti internog prinosa u formulu cijene obveznica sa izračunom njihovih odgovarajućih cijena. Operacija se ponavlja sve dok se vrijednost izračunatog lanca ne poklopi sa datom cijenom obveznice (slika 3.8).

Rice. 3.8.

Ponekad je za donošenje finansijske odluke dovoljno odrediti samo približan (približan) nivo prinosa na obveznice. Usput, može se koristiti kao početni nivo povrata u prvom bloku algoritma o kojem smo gore govorili.

Tradicionalno korištena formula za izračunavanje približnog nivoa prinosa obveznice je

gdje r – interni prinos (prinos do dospijeća); N - nominalna vrijednost obveznice; R je cijena obveznice; P – broj godina do dospijeća; OD - prihod od kupona; - prosječni godišnji prihod; je prosječna cijena obveznice.

U nekim slučajevima, najbolju aproksimaciju daje formula R. Rodrigueza

Na primer, procena unutrašnjeg prinosa 5-godišnje obveznice od 10% kupona sa nominalnom vrednošću od 1.000 dolara i trenutnom cenom od 1.059,12 dolara dalo bi tačno rešenje od 8,5%; tradicionalna formula daje vrijednost od 8,56%, a formula R. Rodrigueza - 8,48%. Ova formula daje dobru aproksimaciju pod uslovom niske stope kupona (ispod 50% godišnje) i bliskih vrijednosti cijene obveznice i njene nominalne vrijednosti.

Konkretno, ako se cijena razlikuje od nominalne vrijednosti više od 2 puta, tada je upotreba obje formule za izračunavanje približnih procjena neprihvatljiva. Takođe treba napomenuti da je greška u proračunu prema formulama približnih procjena veća, što je više godina ostalo do dospijeća obveznice. Ako se obveznica prodaje s diskontom, razmatrane formule daju podcijenjenu vrijednost prinosa na obveznicu, ako je uz premiju, onda precijenjenu.

Sposobnost izračunavanja internog prinosa obveznica je toliko važna da su razvijeni posebni kompjuterski programi koji određuju vrijednosti G za bilo koju kombinaciju cijene obveznice, dospijeća, kuponske stope i nominalne vrijednosti. Danas se proizvode čak i džepni kalkulatori koji mogu da izvrše proračune ove vrste.

Primjer. Kupljena obveznica od 1.000 USD sa 8% kupona za 1.050 USD četiri godine do dospijeća. S obzirom da se kuponi otkupljuju jednom godišnje, odredite internu stopu prinosa.

Rješenje.

Koristimo formulu da izračunamo približnu vrijednost internog prinosa obveznice:

Koristeći metodu zamjene, dobijamo:

Budući da (1047,20 s 1050), hajde da ponovimo proračun za vrijednost r ispravljenu naniže, uzimajući, na primjer, r = 0,0655. U ovom slučaju, ona se praktično poklapa sa tržišnom (stvarnom) cijenom obveznice, što omogućava da se završi obračun interne stope prinosa na nivou G = 0,0655, odnosno 6,55%.

Procedura ponovnog izračunavanja metodom supstitucije može se znatno ubrzati ako postoji graf odnosa između sadašnje vrijednosti obveznice i nivoa njenog internog prinosa. Može se graditi od nekoliko tačaka čije koordinate (parovi vrijednosti G i sadašnja vrijednost) mogu se lako odrediti iz posebnih tabela koje se nalaze u svakom udžbeniku o finansijskim proračunima. Za primjer koji razmatramo, grafička interpretacija izračuna nivoa interne profitabilnosti prikazana je na sl. 3.9.

Rice. 3.9.

Da bi se ubrzao proces izračunavanja internog prinosa obveznice, može se koristiti i formula linearne interpolacije

gdje je G[, G 2 – vrijednosti podcijenjenih odnosno precijenjenih nivoa procijenjenog prinosa obveznica; R, R 2 - procijenjene tržišne cijene obveznice koje odgovaraju nivoima prinosa G] i r 2; R je stvarna (stvarna) cijena obveznice na berzi.

Sumirajući gore navedeno, napominjemo da nam prinos do dospijeća omogućava procjenu ne samo tekućeg (kuponskog) prihoda, već i iznos dobiti ili gubitka koji čeka kapital investitora koji ostaje vlasnik obveznice sve dok je izdavalac ne otkupi. . Osim toga, prinos do dospijeća uzima u obzir vrijeme novčanih tokova. Odnos između nivoa kuponske stope, tekućeg prinosa i prinosa prema dospijeću prikazan je u tabeli. 3.3.

Tabela 3.3

Odnos glavnih parametara veze

---